Limites Borrascosos

En primer semestre de la licenciatura en Matemáticas, hay una definición que sobresale por su por su popularidad y gran cantidad de leyendas urbanas: la definición de limite. Leyendas que tienen a épsilon y delta como protagonistas de difíciles demostraciones. Esta definición parece pasar de voz en voz como una especie de lema que la mayoría sabe recitar, pero pocos entienden. Un conjuro que, tan solo con pronunciarlo, nos otorga una sensación de poder, aunque pocos sepan utilizarlo.

Definición: La función $f$ tiende hacia el límite $l$ en $a$ significa que: para todo $\varepsilon>0$ existe algún $\delta>0$ tal que, para todo $x$, si $0<|x-a|<\delta$, entonces $|f(x)-l|<\varepsilon$.

 

¿Qué nos quiere decir la definición del límite de una función?

Para ir comprendiendo poco a poco la idea, partiremos de una definición que nos da Michael Spivak, en su libro de Calculus.

Definición provisional: La función $f$ se aproxima al límite $l$ cerca de $a$, si $f(x)$ se aproxima tanto como se quiera a $l$, si $x$ se aproxima suficientemente a $a$ pero es distinto de $a$.

 

Esta definición parece ser mas amigable que la anterior. Nos podemos imaginar de manera mas clara lo que nos quiere decir, ya que utiliza palabras sencillas. Entonces ¿Cuál es el problema con esta definición, o será que a los matemáticos nos gusta complicarnos con palabras extrañas?

 

Para poder responder esta pregunta, pongamos especial atención en dos frases: “tanto como se quiera” y “se aproxima suficiente”.

 

Ambas frases son sencillas de entender. El problema en ellas, es que no están bien definidas y pueden caer en diferentes interpretaciones según el lector. ¿Cuánto es “tanto como se quiera” o cuanto es “aproximarse lo suficiente”? Por dar un ejemplo, si $l$ (lo que sea que signifique $l$) tiene un valor de 5, para mí, aproximarme tanto como quiero, sería suficiente con acercarme al valor 4.5; pero, para otra persona, podría 4.5 no ser suficiente y buscar acercarse al 4.9.

 

En general, parece que las frases “tanto como se quiera” y “se aproxima suficiente”, aunque sencillas de entender, son un poco ambiguas. Entonces, buscaremos cambiar estas frases por algo que tenga un significado similar, pero que solo se tenga una sola interpretación, no importa quien lo lea.

 

Para lograr nuestro objetivo, utilizaremos un ejemplo que nos permita observar las ideas ocultas en el valor absoluto, que será la clave para lo que buscamos.

Pensemos en la función $f(x)=2x+1$. Notemos que, cuando $x$ toma el valor de 3, la función nos da el valor de 7. Entonces, aunque aun no entendamos exactamente que es el límite $l$ de una función, diremos que:

$$\lim_{x\rightarrow3}f(x)=7,$$

y trataremos de demostrarlo.

 

Recordando las palabras de nuestra definición provisional, sabemos que $f(x)$ se aproxima tanto como se quiera a $l$, si $x$ se aproxima lo suficiente a $a$. Para nuestro ejemplo, $l$ es igual a 7 y $a$ es igual a 3. Entonces, queremos que $f(x)$ se aproxime tanto como queramos a 7, si $x$ se aproxima lo suficiente a 3.

 

Para esto, haremos un poco de trampa. Pensaremos que nuestra función ya esta tan próxima como queremos a 7, y trataremos de encontrar cuales son las condiciones para que esto ocurra.

 

¿Qué tanto nos queremos aproximar a 7?

 

Supongamos que nuestra función esta menos de $\frac{1}{10}$ de distancia del 7. Puede ser hacia adelante (mayor a 7) o hacia atrás (menor a 7), pero que $f(x)$ no difiera de 7 por una distancia mayor o igual de $\frac{1}{10}$. Otra manera de pensarlo, es que $f(x)$ esta como “encerrada” entre los valores de $7-\frac{1}{10}$ y $7+\frac{1}{10}$. 

Si $\quad\quad\quad\quad7-\frac{1}{10}<f(x)<7+\frac{1}{10}$,

entonces $\quad7-\frac{1}{10}<2x+1<7+\frac{1}{10}$,

entonces $\quad-\frac{1}{10}<2x+1-7<\frac{1}{10}$, $\quad\quad(1)$

entonces $\quad-\frac{1}{10}<2x-6<\frac{1}{10}$,

entonces $\quad-\frac{1}{10}<2(x-3)<\frac{1}{10}$,

entonces $\quad-\frac{1}{20}<x-3<\frac{1}{20}$, $\quad\quad\quad\quad(2)$

y por tanto $\quad3-\frac{1}{20}<x<3+\frac{1}{20}$. 

 

Entonces, la condición necesaria para que $f(x)$ este tan próximo como queríamos a 7, es aproximar $x$ a 3 con una distancia menor de $\frac{1}{20}$.

Ahora, por propiedades del valor absoluto, notemos que las desigualdades (1) y (2) se pueden reescribir de la siguiente manera.

$$(1):\quad|f(x)-7|<\frac{1}{10}$$

$$(2):\quad|x-3|<\frac{1}{20}$$

 

Por tanto, lo que encontramos es que: si "forzamos" a que la distancia entre $x$ y 3 sea menor a $\frac{1}{20}$ (i.e. $|x-3|<\frac{1}{20}$), entonces logramos aproximar la función a su limite, en 3, tanto como quisimos (i.e. $|f(x)-7|<\frac{1}{10}$).

¿Podemos aproximarnos más al limite? si. El valor de $\frac{1}{10}$ no tiene nada en especial, podemos tomar cualquier valor $\varepsilon$, con la única condición de que sea mayor a cero.

Entonces, sea $\varepsilon>0$.

Si $\quad\quad\quad\quad7-\varepsilon<f(x)<7+\varepsilon$,

entonces $\quad7-\varepsilon<2x+1<7+\varepsilon$,

entonces $\quad-\varepsilon<2x+1-7<\varepsilon$, 

entonces $\quad-\varepsilon<2x-6<\varepsilon$,

entonces $\quad-\varepsilon<2(x-3)<\varepsilon$,

entonces $\quad-\frac{\varepsilon}{2}<x-3<\frac{\varepsilon}{2}$, 

y por tanto $\quad3-\frac{\varepsilon}{2}<x<3+\frac{\varepsilon}{2}$. 

Observemos que, la distancia $\delta=\frac{\varepsilon}{2}$, que necesitamos para garantizar que nuestra función este tan próxima como queramos de 7, depende del valor de $\varepsilon$ que tomemos.

Por tanto, tenemos que:

$$|f(x)-7|<\varepsilon,\quad\text{si}\quad|x-3|<\frac{\varepsilon}{2}=\delta.$$

De manera natural, acabamos de agregar las variables $\varepsilon$ y $\delta$, para generalizar la idea de que, para cualquier valor real positivo $\varepsilon$ que tomemos, existe un valor real positivo $\delta$, tal que, si $x$ se encuentra a una distancia de 3, menor a $\delta$, entonces $f(x)$ se encuentra a una distancia de 7, menor a $\varepsilon$.

Con este ejemplo, pudimos ver de cerca, la relación entre las frases “tanto como se quiera” y “se aproxima suficiente” y el valor absoluto, logrando (o eso espero) entender un poco mas lo que nos quiere decir la definición formal del limite de una función.

Antes de finalizar, es importante comentar que el ejemplo que tome es un caso sencillo. Existen otras funciones para las cuales, encontrar el valor del numero real $\delta$ se vuelve un poco mas complicado, pero profundizar sobre los métodos para encontrar este valor no es el objetivo del texto, de manera que solo intente explicar el significado detrás de la definición.

Sin duda, el concepto de limite de una función, es uno de los mas importantes en Calculo y considero que entenderlo, es tener una buena base sobre la que podremos ir levantando firmemente, famosos conceptos como la derivada o la integral.

Sin más que decir, espero que ahora, si puedan pronunciar el conjuro y utilizar su poder.

Nota: Si algún lector esta interesado en que hable sobres como encontrar el valor $\delta$, según algunos tipos de funciones, puede escribirlo en los comentarios. O bien, si esta interesado en algun tema en particular, con gusto veré que puedo hacer.